Las Matemáticas y su Historia: Otras Geometrías

Geometrías no Euclidianas

Los creadores de las geometrías no euclidianas fueron el húngaro Janos Bolyai, el Ivanovich Lobachevsky y Gauss, de una manera independiente (Ruiz, 2003).

Gauss empezó a trabajar con la geometría no euclidiana en el año 1792, cuando tenía 15 años de edad, primero la llamó anti-euclidiana, astral y luego no euclidiana. Por otra parte, Lobachevsky en el año 1826 mostró resultados de esta nueva geometría, pero este trabajo se perdió, posteriormente presentó otros trabajos en los cuales ampliaba sus argumentos sobre la misma, y la llamó imaginaria y luego pangeometría. Aunado a esto, Bolyai trabajó la geometría no euclidiana desde 1823, pero publicó sus resultados después de Lobachevsky. Como fue Lobachevsky el primero en publicar su obra, se le considera como el padre de la geometría no euclidiana (Ruiz, 2003).

Wikipedia. (2014). Gauss.[Imagen]. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

El quinto postulado de Euclides afirma que dada una recta y un punto que no pertenece a ella, existe una única recta que lo contiene, y que es paralela a la recta dada. Por tanto, su negación es: dada una recta y un punto que no pertenece a ella, existe al menos dos recta que lo contienen, y que son paralelas a la recta dada. Esta fue la negación que asumieron Bolyai, Lobachevsky y Gauss, y por tanto sostenían que la suma de las mediadas de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados (Ruiz, 2003).

Asimismo, la otra negación para el quinto postulado es: dada una recta y un punto que no pertenece a ella, no hay ninguna recta que lo contenga y que sea paralela a la recta dada. Esta fue la negación en que se basó Riemann, por tanto afirmó que la suma de las mediadas de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados.

En ambas geometrías, cuando el área del triángulo es muy pequeña (tiende a cero), la suma de las medidas de los ángulos es muy cercana a los 180 grados (Ruiz, 2003).

Wikipedia. (2014). Riemann. [Imagen]. Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

Geometría Proyectiva

Esta geometría nace en el siglo XVII, con aportes de matemáticos tales como Desargues y Pascal. Girard Desargues, “creó nuevos métodos y conceptos, y a través de la proyección y la sección como método de prueba abordó diferentes estudios de las secciones cónicas de una manera general” (Ruiz, 2003, p.271).

Wikipedia. (2014). Desargues. [Imagen]. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Girard_Desargues

Sin embargo se considera que Blaise Pascal fue quien más hizo contribuciones a la geometría proyectiva en este tiempo, a él se le atribuye el teorema de un hexágono inscrito en un círculo, el principio de inducción completa, al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales, etc. (Ruiz, 2003).

Asimismo, esta geometría “estuvo vinculada a los asuntos de perspectiva de los pintores y al uso de las secciones cónicas” (Ruiz, 2003, p.272).

Wikipedia. (2014). Pascal. [Imagen]. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Posteriormente, en el siglo XIX la geometría proyectiva tiene un nuevo auge, con un estudiante de la École Polytechnique que publicó un teorema que se enuncia así: ““en cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales s cortan en el mismo punto”” (Ruiz, 2003, p.417). Además, este mismo estudiante reformuló el teorema de pascal que se enuncia: ““para todo hexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intercesión de los pares de lados opuestos están en una recta”” (Ruiz, 2003, p.417). Estos resultados fueron fundamentales para el desarrollo de la geometría proyectiva (Ruiz, 2003).

La Geometría Diferencial

Según Ruiz (2003), Luigi Bianchi usó por primera vez este término en 1894, esta geometría se refiere a una teoría más general de las geometrías no euclidianas. Además, “trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del cálculo” (Ruiz, 2003, p.424). Gauss mostró una idea innovadora que utilizaría Riemann: “una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo” (Ruiz, 2003, p.424).

Wikipedia. (2014). Bianchi. [Imagen]. Recuperado de: http://it.wikipedia.org/wiki/Luigi_Bianchi

Geometría Analítica

Fue inventada por René Descartes y Pierre Fermat a inicios del siglo XVII (Geometría analítica, s.f). Asimismo, Descartes en su publicación en 1637 el discurso del método demostró cómo aplicar los métodos de la geometría en el álgebra y viceversa (Geometría I, s.f).

Wikipedia. (2014). Descartes. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

La Geometría Analítica “consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica” (Geometría analítica, s.f).

Wikipedia. (2014). Fermat. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

Geometría Descriptiva

Gaspard Monge creo la geometría descriptiva en el siglo XVIII, en el año 1765, en 1768 logró incluir esta geometría en la enseñanza regular de la escuela francesa. Asimismo, Monge fue uno de los que siempre estuvo al pie de la creación de la Escuela Normal, en la que posteriormente presentaría públicamente la geometría descriptiva (Gaspard Monge, s.f).

“La obra de Monge en geometría descriptiva queda recogida en su obra Geometría Descriptiva (1799), que recoge las lecciones impartidas a los alumnos de la Escuela Normal en 1794-1795” (Gaspard Monge, s.f, p. 2).

Wikipedia. (2014). Monge. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

Referencias Bibliográficas

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1^ed). San José, C.R: UNED.

Geometría Analítica y Vectorial. (s.f). Geometría Analítica y Vectorial. Recuperado de:

https://geometriaanaliticayvectorial.wikispaces.com/+LA+GEOMETR%C3%8DA+ANAL%C3%8DTICA+Y+REN%C3%89+DESCARTES

Geometría I. (s.f). Geometría I. Recuperado de:

http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/geometria/geometria.pdf

Gaspard Monge. (s.f). Gaspard Monge. Recuperado de:

http://www.um.es/docencia/plucas/miscelanea/monge.pdf