Las Matemáticas y su Historia: Los tres problemas de la antigüedad

Los tres problemas que constituyeron el mayor reto de los griegos son: la cuadratura del círculo, la trisección de cualquier ángulo y la duplicación del cubo, que se deben resolver solamente con construcciones con regla y compas (Ruiz, 2003).

La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con la misma área de un círculo dado, la trisección del ángulo radica en trisecar cualquier ángulo, y la duplicación del cubo trata de construir el lado de un cubo que duplique el volumen de un cubo de lado dado (Ruiz, 2003).

Es importante aclarar que las construcciones con regla y compás son toda una teoría, es decir hay axiomas, teoremas que la sustentan. Algunos de los axiomas son los siguientes:

(1) Cuando hablamos de una regla y un compás, queremos decir una “regla ideal” y un “compás ideal”, que trazan líneas rectas y círculos exactamente. El espesor de las marcas del lápiz y las aproximaciones involucradas en el dibujo no nos conciernen.

(2) La regla euclidiana no tiene graduaciones. La podemos usar para trazar una línea a través de dos puntos dados, únicamente para eso. No la podemos usar para medir distancias entre puntos, ni aun para decidir si dos segmentos son congruentes.

(3) El compás euclidiano se puede utilizar del modo siguiente. Dado un punto y un punto (en el plano) podemos trazar el círculo que contiene centro en y que contiene a . Esto es para lo único que podemos usar el compás euclidiano (Moise, 1976, p. 286).

Además de estos axiomas, se requiere probar teoremas, resolver ecuaciones y hacer álgebra utilizando regla y compas. Asimismo, es necesario definir que son: un Campo Surd, el Plano Surd, Extensiones Cuadráticas de Campos Conjugados en un Campo de Extensión Cuadrática; para poder demostrar la imposibilidad de probar la trisección del ángulo y la duplicación del cubo (Moise, 1976).