El Álgebra

Antes del siglo XIX se consideraba álgebra a todo lo ligado a la resolución de ecuaciones, es decir, a la aritmética propiamente. Pero es en este siglo que nace el concepto de Álgebra Moderna o Álgebra Abstracta y surge por la necesidad de tener más exactitud en las definiciones matemáticas (Dávila, 2002).

El Álgebra moderna se interesa en “el desarrollo de la teoría de grupos, los hipercomplejos, y las matrices y los determinantes” (Ruiz, 2003, p.393). Es decir, es “en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los números u objetos concretos” (Lorente, s.f. p.1).

En cuanto a los grupos,  Euler dice que se encuentran “asuntos que no se pueden dejar de caracterizar como relativos a los grupos, por ejemplo la descomposición de un grupo conmutativo en subgrupos o relaciones entre el orden de un subgrupo y el grupo madre” (Ruiz, 2003, p.393). De igual manera, Gauss trabajó “con grupos conmutativos estudiando las formas cuadráticas (transformaciones y sustituciones en las formas) como al estudiar las congruencias (el orden, por ejemplo)” (Ruiz, 2003, p.393).

 

Sanchez, J. (2011). Leonhard Euler. [Imagen].       

Sanchez, J. (2011). Carl Friedich Gauss. [Imagen].

Pero quizá uno de los Algebristas más importantes es Evariste Galois, quién “creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna” (Ruiz, 2003, p.341). Además “consideró las propiedades del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudio el papel de algunos subgrupos invariantes” (Ruiz, 2003, p.341). De hecho hay una teoría que se llama la “Teoría de Galois”, en honor a su creador.

Galois. [Imagen]. Recuperado de: http://library.wolfram.com/examples/quintic/people/Galois.html

La Aritmetización del Álgebra

Se refiere a una estructura axiomática a partir de la cual se deducen todos los resultados (teoremas) que se conocen actualmente de la misma.

Por otra parte, los hipercomplejos fueron trabajados en gran medida por Hamilton, este matemático estudio “los cuaterniones, los n-tuples, la potenciación del carácter abstracto del álgebra, así como, también, la creación de los vectores (…) y los espacios lineales” (Ruiz, 2003, p.399). Los cuaterniones poseen cuatro componentes y no satisfacen la conmutatividad en la multiplicación. Su existencia daba la posibilidad de nuevas álgebras elaboradas de más libremente, que no respetasen las propiedades usuales de los números complejos y los reales (Ruiz, 2003).

Sanchez, J. (2011). Sir William Rowan Hamilton. [Imagen].  

De igual manera, las matrices y los determinantes surgen para solucionar los sistemas de ecuaciones lineales, (…) los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en 3 o más variables que se puedan ver asociadas (Ruiz, 2003, pp. 403-404).

En síntesis, se puede concluir que existe una solo álgebra a la que llamamos Álgebra Moderna o Álgebra Abstracta, la cual engloba otras ramas de la misma, tales como: la conmutativa, la no conmutativa, la asociativa, la no asociativa, el álgebra lineal, etc.

Referencias Bibliográficas

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1^ed). San José, C.R: UNED.

Dávila, G. (2002). El desarrollo del álgebra moderna. Parte 1: el álgebra en la antigüedad. Apuntes de historia de las matemáticas, 1 (3), pp. 5-21. Recuperado de:

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-1-algebra.pdf

Lorente, A. (s.f). Historia del álgebra y de sus textos. Recuperado de:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20del%20algebra%20y%20de%20sus%20textos.pdf

Sánchez, J. (2011). Historias de Matemáticas Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones. Pensamiento Matemático, 1, pp. 1-27. 2174-0410. 

Wolframa. (s.f). Wolfram. Recuperado de: http://library.wolfram.com/examples/quintic/people/Galois.html