¿Que es la Matemática?

En la primera semana de clases, se nos pidió preguntar a al menos a una persona ¿Qué es la Matemática para usted? La interrogante se la hice a dos jóvenes y estas fueron las respuestas que obtuve.

La primera respuesta fue: “para mí la matemática es un herramienta de razonamiento lógico esencial para la vida cotidiana, estudios, tecnología, medicina entre otras, yo la aplico en todo, prácticamente para memorizar mercadeo, subsistir”. Y esta la segunda: “es aprender sobre los números”.

Asimismo, se nos pidió que expusiéramos nuestra opinión ante la interrogante, y esta fue mi respuesta: considero que es un poco difícil construir una definición correcta para ¿Qué es la Matemática?, ya que siempre se ha discutido si es una ciencia o no, ya que algunos expertos como consideran que sí, pues en un primer momento cuando se construyen modelos, se observan patrones, se recolectan datos, se realiza la experimentación, asimismo se da una formulación, análisis y modificación de las hipótesis del modelo en estudio, pero en una segunda etapa, se da la formalización de los conocimientos, mediante axiomas, teoremas etc., que no siguen necesariamente el método científico (Polya,1990).

Pixfans. (s.f).Símbolos matemáticos. [Imagen]. Recuperado de:  http://www.pixfans.com/curiosidades-matematicas-y-numericas/

Para mí la matemática es una disciplina que con la ayuda de los números estudia el mundo real, para resolver problemas del mismo, mediante la  creación de modelos que ayudan a la humanidad, tales como los lectores de retina y otros que son utilizados en bancos, empresas, etc. Es la base de algunas ciencias tales como la física, la química, la biología, y de áreas como la computación por ejemplo.

Por otra parte, mi definición de matemática la puedo complementar, ya que coincido con Ruiz (2003) en que tiene carácter objetivo y subjetivo, en cuanto al primero porque son validadas mediantes teoremas, axiomas, definiciones, reglas aceptadas por  la comunidad científica, etc., y en cuanto a lo segundo porque se debe tomar en cuenta la individualidad, los procesos psicológicos del matemático.

Bibliografía

Polya, G. (1990). Como plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1ed). San José, C.R: UNED.

Pixfans. (s.f). Pixfans. Recuperado de: http://www.pixfans.com/curiosidades-matematicas-y-numericas/ 

Otras Geometrías

Geometrías no Euclidianas 

Los creadores de las geometrías no euclidianas fueron el húngaro Janos Bolyai, el Ivanovich Lobachevsky y Gauss, de una manera independiente (Ruiz, 2003).

Gauss empezó a trabajar con la geometría no euclidiana en el año 1792, cuando tenía 15 años de edad, primero la llamó anti-euclidiana, astral y luego no euclidiana. Por otra parte, Lobachevsky en el  año 1826 mostró resultados de esta nueva geometría, pero este trabajo se perdió, posteriormente presentó otros trabajos en los cuales ampliaba sus argumentos sobre la misma, y la llamó imaginaria y luego pangeometría. Aunado a esto, Bolyai trabajó la geometría no euclidiana desde 1823, pero publicó sus resultados después de Lobachevsky. Como fue Lobachevsky el primero en publicar su obra, se le considera como el padre de la geometría no euclidiana (Ruiz, 2003).

                     Wikipedia. (2014). Gauss.[Imagen].  Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss     

El quinto postulado de Euclides afirma que dada una recta y un punto que no pertenece a ella, existe una única recta que lo contiene, y que es paralela a la recta dada. Por tanto, su negación es: dada una recta y un punto que no pertenece a ella, existe al menos dos recta que lo contienen, y que son paralelas a la recta dada. Esta fue la negación que asumieron Bolyai, Lobachevsky y Gauss, y por tanto sostenían que la suma de las mediadas de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados (Ruiz, 2003).

Asimismo, la otra negación para el quinto postulado es: dada una recta y un punto que no pertenece a ella, no hay ninguna recta que lo contenga y que sea paralela a la recta dada. Esta fue la negación en que se basó Riemann, por tanto afirmó que la suma de las mediadas de los ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados.

En ambas geometrías, cuando el área del triángulo es muy pequeña (tiende a cero), la suma de las medidas de los ángulos es muy cercana a los 180 grados (Ruiz, 2003).

                                Wikipedia. (2014). Riemann. [Imagen]. Recuperado de:  http://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

Geometría Proyectiva

Esta geometría nace en el siglo XVII, con aportes de matemáticos tales como Desargues y Pascal. Girard Desargues, “creó nuevos métodos y conceptos, y a través de la proyección y la sección como método de prueba abordó diferentes estudios de las secciones cónicas de una manera general” (Ruiz, 2003, p.271).

   Wikipedia. (2014). Desargues. [Imagen]. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Girard_Desargues 

Sin embargo se considera que Blaise Pascal fue quien más hizo contribuciones a la geometría proyectiva en este tiempo, a él se le atribuye el teorema de un hexágono inscrito en un círculo, el principio de inducción completa, al triángulo aritmético formado por coeficientes binomiales, etc. (Ruiz, 2003).

Asimismo, esta geometría “estuvo vinculada a los asuntos de perspectiva de los pintores y al uso de las secciones cónicas” (Ruiz, 2003, p.272).

Wikipedia. (2014). Pascal. [Imagen]. Recuperado de: http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Posteriormente, en el siglo XIX la geometría proyectiva tiene un nuevo auge, con un estudiante de la École Polytechnique que publicó un teorema que se enuncia así: ““en cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales s cortan en el mismo punto”” (Ruiz, 2003, p.417). Además, este mismo estudiante reformuló el teorema de pascal que se enuncia: ““para todo hexágono inscrito en una cónica, los tres puntos de intercesión de los pares de lados opuestos están en una recta”” (Ruiz, 2003, p.417). Estos resultados fueron fundamentales para el desarrollo de la geometría proyectiva (Ruiz, 2003).

La Geometría Diferencial

Según Ruiz (2003), Luigi Bianchi usó por primera vez este término en 1894, esta geometría se refiere a una teoría más general de las geometrías no euclidianas. Además, “trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y son sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del cálculo” (Ruiz, 2003, p.424). Gauss mostró una idea innovadora que utilizaría Riemann: “una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo” (Ruiz, 2003, p.424).

Wikipedia. (2014). Bianchi. [Imagen]. Recuperado de: http://it.wikipedia.org/wiki/Luigi_Bianchi

Geometría Analítica

Fue inventada por René Descartes y Pierre Fermat a inicios del siglo XVII (Geometría analítica, s.f). Asimismo, Descartes en su publicación en 1637 el discurso del método demostró cómo aplicar los métodos de la geometría en el álgebra y viceversa (Geometría I, s.f).

Wikipedia. (2014). Descartes. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

La Geometría Analítica “consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica” (Geometría analítica, s.f).

                           Wikipedia. (2014). Fermat. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

Geometría Descriptiva

Gaspard Monge creo la geometría descriptiva en el siglo XVIII, en el año 1765, en 1768 logró incluir esta geometría en la enseñanza regular de la escuela francesa. Asimismo, Monge fue uno de los que siempre estuvo al pie de la creación de la Escuela Normal, en la que posteriormente presentaría públicamente la geometría descriptiva (Gaspard Monge, s.f).

“La obra de Monge en geometría descriptiva queda recogida en su obra Geometría Descriptiva (1799), que recoge las lecciones impartidas a los alumnos de la Escuela Normal en 1794-1795” (Gaspard Monge, s.f, p. 2).

                     Wikipedia. (2014). Monge. [Imagen]. Recuperado de:http://en.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

Referencias Bibliográficas

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1^ed). San José, C.R: UNED.

Geometría Analítica y Vectorial. (s.f). Geometría Analítica y Vectorial. Recuperado de:

https://geometriaanaliticayvectorial.wikispaces.com/+LA+GEOMETR%C3%8DA+ANAL%C3%8DTICA+Y+REN%C3%89+DESCARTES

Geometría I. (s.f). Geometría I. Recuperado de:

http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/geometria/geometria.pdf

 

Gaspard Monge. (s.f). Gaspard Monge. Recuperado de:

http://www.um.es/docencia/plucas/miscelanea/monge.pdf

Wikipedia. (2014). Wikipedia. Recuperado de:

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Wikipedia. (). Wikipedia. Recuperado de:

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Wikipedia. (2014). Wikipedia. Recuperado de:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

El Álgebra

Antes del siglo XIX se consideraba álgebra a todo lo ligado a la resolución de ecuaciones, es decir, a la aritmética propiamente. Pero es en este siglo que nace el concepto de Álgebra Moderna o Álgebra Abstracta y surge por la necesidad de tener más exactitud en las definiciones matemáticas (Dávila, 2002).

El Álgebra moderna se interesa en “el desarrollo de la teoría de grupos, los hipercomplejos, y las matrices y los determinantes” (Ruiz, 2003, p.393). Es decir, es “en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de los números u objetos concretos” (Lorente, s.f. p.1).

En cuanto a los grupos,  Euler dice que se encuentran “asuntos que no se pueden dejar de caracterizar como relativos a los grupos, por ejemplo la descomposición de un grupo conmutativo en subgrupos o relaciones entre el orden de un subgrupo y el grupo madre” (Ruiz, 2003, p.393). De igual manera, Gauss trabajó “con grupos conmutativos estudiando las formas cuadráticas (transformaciones y sustituciones en las formas) como al estudiar las congruencias (el orden, por ejemplo)” (Ruiz, 2003, p.393).

 

Sanchez, J. (2011). Leonhard Euler. [Imagen].       

Sanchez, J. (2011). Carl Friedich Gauss. [Imagen].

Pero quizá uno de los Algebristas más importantes es Evariste Galois, quién “creó la teoría de grupos, fundamento del álgebra moderna y de la geometría moderna” (Ruiz, 2003, p.341). Además “consideró las propiedades del grupo de transformaciones que pertenecía a las raíces de una ecuación algebraica y estudio el papel de algunos subgrupos invariantes” (Ruiz, 2003, p.341). De hecho hay una teoría que se llama la “Teoría de Galois”, en honor a su creador.

Galois. [Imagen]. Recuperado de: http://library.wolfram.com/examples/quintic/people/Galois.html

La Aritmetización del Álgebra

Se refiere a una estructura axiomática a partir de la cual se deducen todos los resultados (teoremas) que se conocen actualmente de la misma.

Por otra parte, los hipercomplejos fueron trabajados en gran medida por Hamilton, este matemático estudio “los cuaterniones, los n-tuples, la potenciación del carácter abstracto del álgebra, así como, también, la creación de los vectores (…) y los espacios lineales” (Ruiz, 2003, p.399). Los cuaterniones poseen cuatro componentes y no satisfacen la conmutatividad en la multiplicación. Su existencia daba la posibilidad de nuevas álgebras elaboradas de más libremente, que no respetasen las propiedades usuales de los números complejos y los reales (Ruiz, 2003).

Sanchez, J. (2011). Sir William Rowan Hamilton. [Imagen].  

De igual manera, las matrices y los determinantes surgen para solucionar los sistemas de ecuaciones lineales, (…) los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en 3 o más variables que se puedan ver asociadas (Ruiz, 2003, pp. 403-404).

En síntesis, se puede concluir que existe una solo álgebra a la que llamamos Álgebra Moderna o Álgebra Abstracta, la cual engloba otras ramas de la misma, tales como: la conmutativa, la no conmutativa, la asociativa, la no asociativa, el álgebra lineal, etc.

Referencias Bibliográficas

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1^ed). San José, C.R: UNED.

Dávila, G. (2002). El desarrollo del álgebra moderna. Parte 1: el álgebra en la antigüedad. Apuntes de historia de las matemáticas, 1 (3), pp. 5-21. Recuperado de:

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-1-algebra.pdf

Lorente, A. (s.f). Historia del álgebra y de sus textos. Recuperado de:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20del%20algebra%20y%20de%20sus%20textos.pdf

Sánchez, J. (2011). Historias de Matemáticas Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones. Pensamiento Matemático, 1, pp. 1-27. 2174-0410. 

Wolframa. (s.f). Wolfram. Recuperado de: http://library.wolfram.com/examples/quintic/people/Galois.html

Sección Áurea

El origen de este término se origina en la antigüedad, aproximadamente se ubica en Alemania, en la mitad del siglo XIX; otros nombres utilizados para la sección áurea son los siguientes: regla o número de oro, proporción divina, sección divina, sección de oro, proporción dorada, canon áureo etc. (Toledo, s.f).

La “sección áurea es simplemente una proporción concreta. Esta proporción ha desempeñado un importante papel en los intentos de encontrar una explicación matemática a la belleza, de reducir ésta a un número, de encontrar “ la cifra ideal ”” (Toledo, s.f, p. 8).

La proporción áurea, se obtiene de la siguiente manera:

A este número se le llama el número de oro, y por lo general se denota como . Es un número es irracional, es decir, sus cifras no se repiten periódicamente y posee un periodo infinito (Toledo, s.f).

La proporción áurea está presente en: la música, el arte, la pintura, la arquitectura, la naturaleza.

Por ejemplo:

En la Mona Lisa la proporción áurea se encuentra en el rostro.

Mona Lisa. [Imagen]

En la pintura barroca holandesa, llamada: Síndicos del gremio de los Paños, la razón áurea está presente en la distribución de las personas, como en la dimensiones del cuadro.

Síndicos del gremio de los Paños. [Imagen].

En la gracia antigua tenemos el Partenón, su diseño "esta totalmente basado en la sección dorada, su ancho, su altura y su profundidad están en relación dorada. La distribución de sus columnas y detalles se encuentran en esta misma proporción" (Arquitectura y matemáticas, s.f, p. 2).

Partenón. [Imagen].

 ¡Es increíble cómo estamos rodeados por matemáticas y en muchas ocasiones sin darnos cuenta!

El número áureo en la naturaleza

Referencias Bibliográficas

Toledo, Y. (s.f). Sección áurea en arte, arquitectura y música. Recuperado de:

http://matematicas.uclm.es/itacr/web_matematicas/trabajos/240/La_seccion_aurea_en%20arte.pdf

Arquitectura y matemáticas. (s.f). Arquitectura y matemáticas. Recuperado de: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/html/adjuntos/2008/02/06/0001/arquitectura.pdf 

Los tres problemas de la antigüedad

Los tres problemas que constituyeron el mayor reto de los griegos son: la cuadratura del círculo, la trisección de cualquier ángulo y la duplicación del cubo, que se deben resolver solamente con construcciones con regla y compas (Ruiz, 2003).

La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado con la misma área de un círculo dado, la trisección del ángulo radica en trisecar cualquier ángulo, y la duplicación del cubo trata de construir el lado de un cubo que duplique el volumen de un cubo de lado dado (Ruiz, 2003).

Es importante aclarar que las construcciones con regla y compás son toda una teoría, es decir hay axiomas, teoremas que la sustentan. Algunos de los axiomas son los siguientes:

(1)   Cuando hablamos de una regla y un compás, queremos decir una “regla ideal” y un “compás ideal”, que trazan líneas rectas y círculos exactamente. El espesor de las marcas del lápiz y las aproximaciones involucradas en el dibujo no nos conciernen.

(2)   La regla euclidiana no tiene graduaciones. La podemos usar para trazar una línea a través de dos puntos dados, únicamente para eso. No la podemos usar para medir distancias entre puntos, ni aun para decidir si dos segmentos son congruentes.

(3)   El compás euclidiano se puede utilizar del modo siguiente. Dado un punto  y un punto  (en el plano) podemos trazar el círculo que contiene centro en  y que contiene a . Esto es para lo único que podemos usar el compás euclidiano (Moise, 1976, p. 286).

Además de estos axiomas, se requiere probar teoremas, resolver ecuaciones y hacer álgebra utilizando regla y compas. Asimismo, es necesario definir que son: un Campo Surd, el Plano Surd, Extensiones Cuadráticas de Campos Conjugados en un Campo de Extensión Cuadrática; para poder demostrar la imposibilidad de probar la trisección del ángulo y la duplicación del cubo (Moise, 1976).

Trisección. [Imagen]. 

Cuadratura del círculo. [Imagen].

Duplicación del cubo. [Imegen].

  

Referencias Bibliográficas

Ruiz, A. (2003). Historia y filosofía de las Matemáticas (1^ed). San José, C.R: UNED.

Moise, E. (1976). Geometría elemental desde un punto de vista avanzado (3^ed). México: Compañía Editorial Continental, S. A.